Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中實(shí)數(shù)a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且g（x）存在最小值時(shí)，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．
（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x²-（a²-2）]=0，故a²-2≤0求出a的范圍，再根據(jù)g（x）存在最小值必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．
（3）分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)區(qū)間，然后令（a，a+2）為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，又a＞0，
∴當(dāng)x＜-a或x＞

a

3

時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)-a＜x＜

a

3

時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(-a，

a

3

)內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意知x³+ax²-a²x+1=ax²-2x+1，
即x[x²-（a²-2）]=0恰有一根（含重根）．∴a²-2≤0，即-

2

≤a≤

2

，
又a≠0，∴a∈[-

2

，0)∪(0，

2

]．
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）才存在最小值，∴a∈(0，

2

]．
g（x）=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

，
∴h(a)=1-

1

a

，a∈(0，

2

]．
h（a）≤1-

2

2

；
∴h（a）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-∞，1-

2

2

]．
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在(

1

a

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

，解得a≥1；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在(-∞，

1

a

)內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

，解得a≤-3；
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增．