Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+a

ex

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=xf′（x），求證：對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＜1+

1

e2

．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（1）=0求解a的值；
（2）把（1）中求得的a值代入，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，的單調(diào)區(qū)間；
（3）分x≥1和x＜1兩種情況證明，x≥1時直接由（2）的結(jié)論得答案，x＜1時利用函數(shù)構(gòu)造法，由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值加以證明．

解答：（1）解：∵f（x）=

lnx+a

ex

x∈（0，+∞），
∴f′（x）=

1 x •ex-(lnx+a)ex

(ex)2

=

1 x -lnx-a

ex

由已知：f′（1）=0得：1-a=0
∴a=1；
（2）解：由（1）知：f′（x）=

1 x -lnx-1

ex

x∈（0，+∞）
設(shè)h（x）=

1

x

-lnx-1
則h′（x）=-

1

x2

-

1

x

=-

1+x

x2

＜0
∴h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，∵h(yuǎn)（1）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（3）證明：由（2）可知：當(dāng)x≥1時，g（x）=xf′(x)≤0＜1+

1

e2

，
只需證0＜x＜1時，g(x)＜1+

1

e2

即可．
g(x)=xf′(x)=

1-xlnx-x

ex

．
設(shè)F（x）=1-xlnx-x，0＜x＜1  
則F′（x）=-（lnx+2）
令F′（x）＞0，即lnx+2＜0，∴0＜x＜

1

e2

令F′（x）＜0，即lnx+2＞0，∴

1

e2

＜x＜1
∴當(dāng)x=

1

e2

時，F(xiàn)（x）取最大值F(

1

e2

)=1+

1

e2

∵0＜x＜1時，e^x＞1，且g（x）＞0
∴g（x）=

1-xlnx-x

ex

＜1-xlnx-x=F(x)
∴g（x）＜F（x）≤1+

1

e2

綜上所述，對任意x＞0，都有g(shù)（x）＜1+

1

e2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬有一定難度題目．