Question

1．已知函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=F（x），當(dāng)函數(shù)y=f（x）和y=F（x）在區(qū)間[a，b]同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，區(qū)間[a，b]叫做函數(shù)y=f（x）的“不動(dòng)區(qū)間”．若區(qū)間[1，2]為函數(shù)y=|2^x-t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的最大值為2．

Answer 1

分析 若區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2^x-t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則函數(shù)f（x）=|2^x-t|和函數(shù)F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上單調(diào)性相同，則（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴F（x）=f（-x）=|2^-x-t|，
∵區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2^x-t|的“不動(dòng)區(qū)間”，
∴函數(shù)f（x）=|2^x-t|和函數(shù)F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上單調(diào)性相同，
∵y=2^x-t和函數(shù)y=2^-x-t的單調(diào)性相反，
∴（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1-t（2^x+2^-x）+t²≤0在[1，2]上恒成立，
即2^-x≤t≤2^x在[1，2]上恒成立，
即有$\frac{1}{2}$≤t≤2；
即實(shí)數(shù)t的最大值為2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解不動(dòng)區(qū)間的定義，是解答的關(guān)鍵．