【題目】已知二次函數(shù)(其中)滿足下列三個條件:圖象過坐標原點;②對于任意成立;③方程有兩個相等的實數(shù)根.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)(其中),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(直接寫出結(jié)果即可);

(3)研究方程在區(qū)間內(nèi)的解的個數(shù).

【答案】1;(2)見解析;(3)見解析

【解析】

1)由圖象過原點得,由得對稱軸,方程有兩個相等實根,對應(yīng)的,三個條件可得三個等式,從而求得得解析式;

(2)化簡函數(shù)為分段函數(shù),當時,結(jié)合函數(shù)的對稱軸求出單調(diào)區(qū)間,時類似求出單調(diào)區(qū)間.

(3)結(jié)合(2)中函數(shù)的單調(diào)性可研究上的零點個數(shù).注意零點存在定理的應(yīng)用.

1)因為圖象過坐標原點,所以,即,

,所以其對稱軸是,即,,

又方程,即有兩個相等實根,所以,,

所以

2,

①當時,的對稱軸是,

,即時,上單調(diào)遞增,

,即時,上單調(diào)遞增,在上遞減,

②當時,的對稱軸是,

則函數(shù)上遞減,在上遞增,

綜上所述,當時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為;時,減區(qū)間為,,增區(qū)間為,

3)①當時,由(2)知上單調(diào)遞增,

,,故函數(shù)上只有一個零點;

時,則,,,

i)當時,,

,此時上只有一個零點,

ii)當時,,此時上有兩個不同零點.

綜上所述,當時,上只有一個零點,時,上有兩個不同零點.

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