Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{S_n-4}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1得a₁=s₁=2a₁-2即a₁=2，然后當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)s_n-s_n-1得到a_n變形為

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

，設(shè)bn=

an

2n

，則數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1、公差為

3

2

的等差數(shù)列，表示出b_n通項(xiàng)即可求出a_n；
（Ⅱ）先求出s_n-4的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列求和的方法求出T_n即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，a_n=2a_n-1+3×2^n-1，于是

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

；方法
令bn=

an

2n

，則數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1、公差為

3

2

的等差數(shù)列，bn=

3n-1

2

；
∴a_n=2ⁿb_n=2^n-1（3n-1）．
（Ⅱ）∵S_n-4=2ⁿ（3n-4）=3×2ⁿ×n-2ⁿ⁺²，
∴T_n=3（2×1+2²×2++2ⁿ×n）-4（2+2²++2ⁿ），
記W_n=2×1+2²×2++2ⁿ×n①，則2W_n=2²×1+2³×2++2ⁿ⁺¹×n②，
①-②有-W_n=2×1+2²++2ⁿ-2ⁿ⁺¹×n=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴W_n=2ⁿ⁺¹（n-1）+2．
故Tn=3×[2n+1(n-1)+2]-4

2(1-2n)

1-2

=2n+1(3n-7)+14•

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的能力，以及會(huì)應(yīng)用數(shù)列求和的方法．