Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(4,0),長(zhǎng)軸端點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)為橢圓上不同的兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程.

(2)若x1+x2=8,在x軸上是否存在一點(diǎn)D,使||=||?若存在,求出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

 

Answer 1

(1) +=1 (2) D點(diǎn)存在,為(,0) 理由見解析

【解析】(1)由題知c=4,a-c=1,∴a=5,b2=9.

∴所求方程為+=1.

(2)假設(shè)存在這樣一點(diǎn)D(x0,0).由||=||,

則點(diǎn)D在線段AB的中垂線上.

又線段AB中點(diǎn)為(4,),

∴線段AB的中垂線方程為

y-=-(x-4)　�、�

∵A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是橢圓上兩點(diǎn),

∴+=1,+=1.

∴+=0.

∴-=·.

在①中令y=0,∴-=(x0-4).

∴x0=.∴D點(diǎn)存在,為(,0).