Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在棱BC上，AD⊥C₁D，
（1）設(shè)點M是棱BB₁的中點，求證：平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）設(shè)點E是B₁C₁的中點，過A₁E作平面α交平面ADC₁于l，求證：A₁E∥l．

Answer 1

分析：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中點，能夠推導(dǎo)出OM⊥平面AA₁C₁C，由此能夠證明平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中點，E是B₁C₁的中點，故AD∥A₁E，所以A₁E∥平面ADC₁，由此能夠證明A₁E∥l．

解答：解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中點，
∴AB=A₁B₁=B₁C₁，BM=B₁M，∠ABM=∠C₁B₁M，
∴AM=C₁M．
∴△AMC₁是等腰三角形．
取AC₁的中點O，CC₁的中點M，連接MO，OP，MP，
則MO⊥AC₁，OP⊥CC₁，MP⊥CC₁，
∴CC₁⊥平面OPM，
∵OM?平面OPM，∴CC₁⊥OM．
∵CC₁∩AC₁=C₁，
∴OM⊥平面AA₁C₁C，
∵OM?平面AMC₁，∴平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M是棱BB₁的中點，E是B₁C₁的中點，
∴AD∥A₁E，
∵AD?平面ADC₁，A₁E?平面ADC₁，
∴A₁E∥平面ADC₁，
∵過A₁E作平面α交平面ADC₁于l，
∴A₁E∥l．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與直線平行的證明．解題時要認真審題，仔細解答，合理運用輔助線，化空間問題為平面問題．