Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由O為AC中點(diǎn)，M為PD中點(diǎn)．結(jié)合平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)，考慮連接BD，MO，則有PB∥MO，從而可證
（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根據(jù)線面垂直的判定定理可證
（III）取DO中點(diǎn)N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，從而可得∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可
解答：解：（I）證明：連接BD，MO
在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，
所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又M為PD的中點(diǎn)，所以PB∥MO
因?yàn)镻B?平面ACM，MO?平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）證明：因?yàn)椤螦DC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN
因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，，所以，
∴，
在Rt△ANM中，==
即直線AM與平面ABCD所成的正切值為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力、推理論證能力．