Question

已知函數(shù)f（x）=（2x²-kx+k）•e^-x．
（1）當(dāng)k為何值時，f（x）無極值；
（2）試確定實數(shù)k的值，使f（x）的極小值為0．

Answer 1

分析：對函數(shù)求導(dǎo)整理可得，f′(x)=-2(x-2)(x-

k

2

) e-x
（1）f（x）無極值?函數(shù)沒有單調(diào)性的改變?f′（x）≤0恒成立，從而可求k
（2）由（1）可得k≠4，分k＞4，k＜4討論函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極小值，使其滿足為0，從而可求k

解答：解：（1）∵f′（x）=（4x-k）e^-x-（2x²-kx+k）e^-x
=[-2x²+（k+4）x-2k]e^-x=-2(x-2)(x-

k

2

)e-x
∴k=4時，f′（x）=-2（x-2）²e^-x≤0，此時，f（x）無極值．（5分）
（2）當(dāng)k≠4時，由f′（x）=0得x=2或x=

k

2

．
當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：
①當(dāng)k＜4，即

k

2

＜2時

②當(dāng)k＞4，即

k

2

＞2時

∴k＜4時，由f(

k

2

)=0得2×

k2

4

-

k2

2

+k=0，
∴k=0k＞4時，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8
綜上所述，k=0或8時，f（x）有極小值0．（12分）

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，而利用導(dǎo)數(shù)判定時，關(guān)鍵要看導(dǎo)函數(shù)的符號的變化．屬于基礎(chǔ)知識的考查．