Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，異面直線A₁B與B₁C₁所成角的大小為arccos

5

10

．
（1）求側(cè)棱AA₁的長；
（2）求點B₁到平面A₁BC的距離．

Answer 1

分析：（1）設AA₁=a，求側(cè)棱AA₁的長，需要找到與它有關的方程，由題設條件及圖形知，∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，由于此角余弦值已知，且△A₁BC的邊A₁B，A₁C的長度都可以用側(cè)棱AA₁的長度a表示出來，由此可以利用余弦定理建立關于AA₁的方程．
（2）本小題求點到面的距離，在立體幾何中一般采取用等體積法求解，觀察圖形知VB1-A1BC=VC-A1BB1，點到面的距離易得．

解答：解：（1）∵B₁C₁∥BC，
∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，…（2分）
設AA₁=a，則在△A₁BC中，A1B=A1C=

a2+4

，BC=2，…（4分）
于是cos∠A1BC=

1

a2+4

=

5

10

，…（6分）解得a=4．…（7分）
所以，側(cè)棱AA₁的長為4．…（8分）
（2）設B₁到平面A₁BC的距離為h，因為VB1-A1BC=VC-A1BB1，
而SA1BC=

19

，…（9分）
SA1BB1=4，…（10分）
于是，

19

h=4

3

，解得h=

4 57

19

．…（13分）
所以，點B₁到平面A₁BC的距離為

4 57

19

．…（14分）

點評：本題考查點到面的距離求法，解題的關鍵是掌握住等體積法的技巧求點到面的距離，此類題求解時，技巧是轉(zhuǎn)換角度，且點所對的多邊形的面積易求，滿足了這些條件用等體積法才比較快捷，若這些條件不滿足，則此法不好用，學習一種典型題的解法，要注意它的適用范圍，適時總結