已知曲線C的極坐標方程為ρ2=
364cos2θ+9sin2θ
；
（Ⅰ）若以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值．
分析：（Ⅰ）由ρ2=
36
4cos2θ+9sin2θ
得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式即可得出．
（Ⅱ）設P（3cosθ，2sinθ），則3x+4y=9cosθ+8sinθ=
145
sin(θ+φ)，可知當sin（θ+φ）=1時，3x+4y取得最大值．
解答：解：（Ⅰ）由ρ2=
36
4cos2θ+9sin2θ
得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：4x2+9y2=36．
化為
x2
9
+
y2
4
=1，
∴曲線C的直角坐標方程為
x2
9
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）設P（3cosθ，2sinθ），
則3x+4y=9cosθ+8sinθ=
145
sin(θ+φ)，
∵θ∈R，
∴當sin（θ+φ）=1時，3x+4y的最大值為
145
．
點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化公式、橢圓的參數(shù)方程的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是
x=t
y=
3
t
（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0．
（1）求直線l的極坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ，把曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程為
x2+y2=6x
x2+y2=6x
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=
3
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃州區(qū)模擬）（考生注意：本題為選做題，請在下列兩題中任選一題作答，如果都做，則按所做第（1）題計分）
（1）（《坐標系與參數(shù)方程選講》選做題）．已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，則曲線C上的點到直線
x=-1+t
y=2t
（t為參數(shù)）距離的最大值為
1+
4
5
5
1+
4
5
5
．

（2）（《幾何證明選講》選做題）．已知點C在圓O的直徑BE的延長線上，直線CA與圓O相切于點A，∠ACB的平分線分別交AB，AE于點D，F(xiàn)，則∠ADF
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4　 坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程為：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0，
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設（x，y）是曲線C上任意一點，求
y
x
的最大、最小值．

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