Question

（2012•通州區(qū)一模）在直角坐標系中，點O為坐標原點，已知

OA1

=(-

1

4

，0)，

AiAi+1

=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，且點B₁，B₂…B_n…在同一條曲線C上，那么曲線C的方程是

y²=3x；

；設點B_n（i=1，2，…n…）的橫坐標是n（n∈N*）的函數(shù)f（n），那么f（n）=

(n-

1

2

)2

．

Answer 1

分析：根據(jù)

OA1

=(-

1

4

，0)，

AiAi+1

=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，且點B₁，B₂…B_n…在同一條曲線C上，可得B_n橫坐標、縱坐標的表達式，由此可得結(jié)論．

解答：解：設B_n（x，y），則
∵

AiAi+1

=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），
∴

OAi+1

-

OAi

=2i-1
∴

OAi+1

=

OA1

+（

OA2

-

OA1

）+…+

OAi+1

-

OAi

=-

1

4

+1+3+…+（2i-1）=-

1

4

+i²
∵△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，
∴x=

1

2

[-

1

4

+n²-

1

4

+（n-1）²]=(n-

1

2

)2，y=

3

2

[-

1

4

+n²+

1

4

-（n-1）²]=

3

2

（2n-1）
消去n得y²=3x．
∴曲線C的方程是y²=3x，f（n）=(n-

1

2

)2
故答案為：y²=3x，f（n）=(n-

1

2

)2

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用、考查拋物線的標準方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．