Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+1（b∈R），滿足f（-1）=f（3）．
（1）求b的值；
（2）當x＞1時，求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）對于（2）中的f^-1（x），如果在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+1（b∈R），滿足f（-1）=f（3），
∴1-b+1=9+3b+1，∴b=-2．
（2）∵f（x）=x²-2x +1=（x-1）²，圖象關(guān)于x=1對稱，
∴當x＞1時，x-1=，∴f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=+1 （x≥0）．
（3）由題意知，+1＞m（m-）在上恒成立，
即（m+1）＞（m+1）（m-1） 在上恒成立，
①當m＞-1時，有 ＞m-1 在上恒成立，
∴＞m-1，即 m＜，
∴-1＜m＜，
②當m＜-1時，有 ＜m-1 在上恒成立，
∴＜m-1，即 m＞1+（舍去）
③m=-1時，不滿足條件．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是-1＜m＜．
分析：（1）由二次函數(shù)f（x）=x²+bx+1（b∈R）和f（-1）=f（3），解出b．
（2）由函數(shù)解析式解出自變量x，再把自變量和函數(shù)交換位置，即可得到反函數(shù)的解析式，
然后注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）．
（3）問題轉(zhuǎn)化為（m+1）＞（m+1）（m-1） 在上恒成立，分類討論，
當m＞-1時，有 ＞m-1 在上恒成立，有 在此區(qū)間上的最小值大于m-1，
當m＜-1時，有 ＜m-1 在上恒成立，有 在此區(qū)間上的最大值小于m-1，
當m=-1時，不滿足條件．
點評：本題考查求函數(shù)的解析式、求一個函數(shù)的反函數(shù)的方法，以及函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)分類討論和等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．