Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為$\frac{1}{2}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M在以橢圓C的短軸為直徑的圓上，且M在第一象限，過M作此圓的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．試問△PFQ的周長是否為定值？若是，求此定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為$\frac{1}{2}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），列出方程組，求出a=$\sqrt{2}$，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${x}_{1}∈（0，\sqrt{2}）$，連結(jié)OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=$\sqrt{2}$，從而求出△PFQ的周長為定值2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，
且△AOF的面積為$\frac{1}{2}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${x}_{1}∈（0，\sqrt{2}）$，
∴|PF|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+2}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-{x}_{1}）$，
連結(jié)OM，OP，則|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-1}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}$，
∴|PF|+|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-{x}_{1}）+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}=\sqrt{2}$，
同理，|QF|+|QM|=$\sqrt{2}$，
∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2$\sqrt{2}$，
∴△PFQ的周長為定值2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程、兩占間距離公式、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．