若不等式|a-1|≥
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
對滿足x+y+z=1的一切正實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：根據(jù)柯西不等式進(jìn)行配湊，可得不等式的右邊小于或等于3
2
，從而得到|a-1|≥3
2
，再解關(guān)于a的不等式，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：根據(jù)柯西不等式，有
(
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
)2=(1•
3x+1
+1•
3y+1
+1•
3z+1
)2
≤(12+12+12)[(
3x+1
)2+(
3y+1
)2+(
3z+1
)2]=3•[3(x+y+z)+3]=3×6=18

∴
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
≤3
2
．
又∵|a-1|≥
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
恒成立，
∴|a-1|≥3
2
，得a-1≥3
2
或a-1≤-3
2
，
即a≥3
2
+1或a≤1-3
2
，
所以a的取值范圍是(-∞，1-3
2
]∪[1+3
2
，+∞)．
點(diǎn)評：本題給出關(guān)于x的不等式恒成立，求參數(shù)a的取值范圍，著重考查了不等式恒成立問題的理解和運(yùn)用柯西不等式求最值等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：
x=s+
1
s
y=s-
1
s
（s為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x、y、z恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分
（1）二階矩陣M對應(yīng)的變換將向量
1
-1
，
-2
1
分別變換成向量
3
-2
，
-2
1
，直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0，求直線l的方程．
（2）過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：
x=s+
1
s
y=s-
1
s
（s為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式|a-1|≥x+y+z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實(shí)數(shù)x，y，z恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
a≥
3
+1或a≤-
3
+1
a≥
3
+1或a≤-
3
+1
．

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