已知圓M:(x+
5
)2+y2=36
,定點(diǎn)N(
5
,0)
,點(diǎn)P為圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足
NP
=2
NQ
,
GQ
NP
=0

(I)求點(diǎn)G的軌跡C的方程;
(II)過點(diǎn)(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
OS
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.
分析:(I)點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足
NP
=2
NQ
,
GQ
NP
=0
故有|GN|+|GM|=|MP|=6,由橢圓的定義知G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓,由定義寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到點(diǎn)G的軌跡C的方程.
(II)
OS
=
OA
+
OB
,所以四邊形OASB為平行四邊形,若存在l使得|
OS
|=|
AB
|,則四邊形OASB必為矩形即有
OA
OB
=0
,令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2+y1y2=0,由直線l與曲線C聯(lián)立求利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2,y1y2的參數(shù)表達(dá)式,代入求直線的斜率k,若能求出,則說明存在,若不能求出,則不存在.
解答:解:(I)
NP
=2
NQ
GQ
PN
=0
?
Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN?GQ為PN的中垂線?|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓,其長半軸長a=3,半焦距c=
5
,
∴短半軸長b=2,∴點(diǎn)G的軌跡方程是
x2
9
+
y2
4
=1
(5分)
(II)因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
OS
=
OA
+
OB
,所以四邊形OASB為平行四邊形
若存在l使得|
OS
|=|
AB
|,則四邊形OASB為矩形∴
OA
OB
=0

若l的斜率不存在,直線l的方程為x=2,
x=2
x2
9
+
y2
4
=1
x=2
y=±
2
5
3
OA
OB
=
16
9
>0
,與
OA
OB
=0
矛盾,
故l的斜率存在.(7分)
設(shè)l的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2
y=k(x-2)
x2
9
+
y2
4
=1
?(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0

x1+x2=
36k2
9k2+4
,x1x2=
36(k2-1)
9k2+4

y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
20k2
9k2+4
②(9分)
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
3
2

∴存在直線l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等.
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是軌跡方程,考查了定義法求橢圓的軌跡方程與直線與橢圓的相交問題,直線與橢圓的關(guān)系問題是圓錐曲線中一類?嫉木C合題,其規(guī)律是聯(lián)立方程?消元得關(guān)于x,或y的一元二次方程,再利用根系關(guān)系得到兩個直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意總結(jié)這一共性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•湖北模擬)已知圓M的圓心M在x軸上,半徑為1,直線l:y=
4
3
x-
1
2
,被圓M所截的弦長為
3
,且圓心M在直線l的下方.
(I)求圓M的方程;
(II)設(shè)A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圓M是△ABC的內(nèi)切圓,求△ABC的面積S的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M:x2+(y-2)2=1,設(shè)點(diǎn)B,C是直線l:x-2y=0上的兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+4(t∈R),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a且點(diǎn)P在線段BC上,過P點(diǎn)作圓M的切線PA,切點(diǎn)為A
(1)若t=0,MP=
5
,求直線PA的方程;
(2)經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓的圓心是D,
①將DO2表示成a的函數(shù)f(a),并寫出定義域.
②求線段DO長的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M:(x+
5
)2+y2=36
,定點(diǎn)N(
5
,0),點(diǎn)P為圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足
NP
=2
NQ
,
GQ
NP
=0

(1)求點(diǎn)G的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)(2,0)作斜率為k的直線l,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在這樣的直線l,使得
OA
OB
≤-1?若存在,求出直線l的斜率k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣西一模 題型:解答題

已知圓M:(x+
5
)2+y2=36
,定點(diǎn)N(
5
,0)
,點(diǎn)P為圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足
NP
=2
NQ
,
GQ
NP
=0

(I)求點(diǎn)G的軌跡C的方程;
(II)過點(diǎn)(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
OS
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案