Question

已知：正數數列{a_n}的通項公式a_n=

2×3n+2

3n-1

（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的最大項；
（2）設b_n=

an+p

an-2

，確定實常數p，使得{b_n}為等比數列；
（3）（理）數列{C_n}，滿足C₁＞-1，C₁≠

2

，C_n+1=

Cn+p

Cn+1

，其中p為第（2）小題中確定的正常數，求證：對任意n∈N*，有C_2n-1＞

2

且C_2n＜

2

或C_2n-1＜

2

且C_2n＞

2

成立．
（文）設{b_n}是滿足第（2）小題的等比數列，求使不等式-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n≥2010成立的最小正整數n．

Answer 1

分析：（1）首先對數列{a_n}的通項公式進行變形，由an=2+

4

3n-1

分析a_n隨n的變化規(guī)律再結合n∈N^*即可獲得問題的解答；
（2）結合條件充分利用等比數列的性質：等比中項即可獲得含參數的方程，解方程即可獲得參數的值，最后要注意參數的驗證；
（3）對（理）首先結合（2）的結論對條件進行化簡，然后對化簡結果cn+1=

cn+2

cn+1

(c1＞-1，c1≠

2

)結合結論進行化簡，
利用數學歸納法可以證明對n∈N*，cn≠

2

，且(cn+1-

2

)(cn-

2

)=

(1- 2 )(cn- 2 )

cn+1

＜0，進而即可獲得問題的解答；
對（文）首先要結合p的取值不同進行分類討論，其中左邊利用等比數列的前n項和公式計算即可．注意下結論．

解答：解：（1）a_n=2+

4

3n-1

，隨n的增大而減小，
∴{a_n}中的最大項為a₁=4．
（2）b_n=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)•3n+(2-p)

4

，
{b_n}為等比數列
∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*）
∴（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0（n∈N*）
∴-（4-p²）•3ⁿ•4=0（n∈N*）
∴p=±2，
反之當p=2，b_n=3ⁿ時，{b_n}為等比數列；p=-2，b_n=1時，{b_n}為等比數列
∴當且僅當p=±2時，{b_n}為等比數列．
（3）（理）按題意c_n+1=

cn+2

cn+1

(c1＞-1，c1≠

2

)
∵c₁＞-1，c₂＞0，進而當n≥2時，c_n＞0
c_n+1-

2

=

(1- 2 )cn+2- 2

cn+1

=

(1- 2 )(cn- 2 )2

cn+1

∵c₁≠

2

，
∴由數學歸納法，對n∈N*，c_n≠

2

，且(cn+1-

2

)(cn-

2

)=

(1- 2 )(cn- 2 )

cn+1

＜0
特別有(c2n-1-

2

)(c2n-

2

)＜0（n∈N*）
∴c_2n-1＞

2

且c_2n＜

2

或c_2n-1＜

2

且c_2n＞

2

．
（文）
若p=-2，則b_n=1（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010的n不存在；
若p=2，則b_n=3ⁿ（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010?

(-3)[1-(-3)n]

1-(-3)

≥2010
等價于（-3）ⁿ-1＞2680，
等價于（-3）ⁿ＞2681，
∴n為偶數，∵3⁶=729，3⁸=6561
∴當p=2時，n的最小值為8；當p=-2時，滿足條件的n不存在．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了數列與函數的思想、數學歸難的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．