Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²；

（2）2²+4²+6²+…+（2n）²=.

Answer 1

證明一：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，那么（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+［3（k+1）-2］

=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）-k+（3k-1）+3k+（3k+1）

=（2k-1）²+8k=（2k+1）².

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N^*都成立.

證明二：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4，右邊==4，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是2²+4²+（2k）²=,那么

2²+4²+…+（2k）²+［2（k+1）］²

=+4（k+1）²

=2（k+1）［+2（k+1）］

=.

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N^*都成立.