Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：MN∥平面PCD；
（II）在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得AE上平面PBD？若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)為F，連接FC，MF．證明四邊形MNCF為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=2，推出B，D，P，C，設(shè)PC上一點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，y，z），求出

AE

，平面PBC的法向量

AH

．通過sinθ=|cosα|=

AH • AE

| AH |• |AE |

求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)為F，連接FC，MF．
∵MF∥AD，MF=

1

2

AD，NC∥AD，NC=

1

2

AD．
∴四邊形MNCF為平行四邊形，（3分）
∴MN∥FC，又FC?平面PCD，（5分）
∴MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB=2，則B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
設(shè)PC上一點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，y，z），

PE

=λ

PC

，
即（x，y，z-2）=λ（2，2，-2），
則E（2λ，2λ，2-2λ）．（7分）
由

AE • PB =0 AE • PD =0

，解得λ=

1

2

．
∴

AE

=(1，1，1)．（9分）
作AH⊥PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，取

AH

為平面PBC的法向量．則

AH

=

1

2

(

AB

+

AP

)=(1，0，1)，
∴設(shè)AE與平面PBC所成角為θ，

AH

，

AE

的夾角為α，
則sinθ=|cosα|=

AH • AE

| AH |• |AE |

=

2

3 2

=

6

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力．