Question

已知函數
（1）若對于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為-3，求實數k的取值范圍；
（3）若對于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，求實數k 的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設t=2^x，則y=（t＞0），
∵y＞0恒成立，∴t＞0時，t²+kt+1＞0恒成立，
即t＞0時，k＞-（t+）恒成立，
∵t＞0時，t+≥2，∴-（t+）≤-2，
當t=，即t=1時，-（t+）有最大值為-2，
∴k＞-2；
（2）f（x）==1+，
令t=2^x++1≥3，則y=1+（t≥3），
當k-1＞0，即k＞1時，y∈（1，]，無最小值，舍去；
當k-1=0，即k=1時，y∈{1}，最小值不是-3，舍去；
當k-1＜0，即k＜1時，y∈[，1），
最小值為=-3得k=-11；
綜上k=-11．
（3）因對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當k＞1時，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，故≤2，∴1＜k≤4；
當k=1時，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當k＜1時，∵≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且≤f（x₃）＜1，故≥1，∴-≤k＜1；
綜上所述：-≤k≤4．
分析：（1）換元，將f（x）解析式的分子分母轉化為二次式，因為分母恒大于0，所以只需分子大于0，分離參數，利用均值不等式與不等式的性質得出右邊式子的最大值，可得實數k的取值范圍；
（2）將f（x）解析式用分離常數法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由k-1的符號決定，故分為三類討論，得出整個式子的取值范圍，若有最小值，令其等于-3，求出實數k的取值范圍；
（3）三條線段構成三角形的條件為兩邊之和大于第三邊，得出f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）的不等式，由（2）知，f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）在三種不同情況下的范圍，與（2）同樣，分三種情況進行討論，轉化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進而求出實數k 的取值范圍．
點評：本題主要考查求參數的范圍，注意把所給式子化繁為簡，一般常用換元法，把不等式轉化為求最值間的不等式，在求最值的過程中，若與參數有關，要進行分類討論．
在使用均值不等式應注意一定，二正，三相等．