Question

已知函數f（x）的定義域為R，且滿足f（x+2）=-f（x）．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）若f（x）為奇函數，且當0≤x≤1時，，求使在[0，2010]上的所有x的個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得證．
（2）依題意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，進而求出時x的值．再根據函數的周期性求出在[0，2010]上的所有x的個數．
解答：解：（1）證明：∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4為周期的函數．
（2）當0≤x≤1時，f（x）=x，
設-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-x，即f（x）=x．故f（x）=x（-1≤x≤1）
又設1＜x＜3，則-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=-（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=
由f（x）=-，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數．故f（x）=-的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2010，則≤n≤502，
又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z），
∴在[0，2010]上共有502個x使f（x）=-．
點評：本題主要考查了函數的周期性．在解題的時候，要注意函數在不同區(qū)間上不同的解析式，這是容易出錯的地方．