Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，tan（

x

2

+

π

4

）），

b

=（

2

sin（

x

2

+

π

4

），tan（

x

2

-

π

4

）），令f（x）=

a

•

b

．
（1）求當x∈（

π

2

，

2π

3

）時函數(shù)f（x）的值域；
（2）是否存在實數(shù)x∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0（其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)）？若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin（x+

π

4

），根據(jù)x的范圍，求出函數(shù)的值域．
（2）先求出 f′（x）的解析式，由f（x）+f′（x）=0 化簡可得

2

cosx=0．再由x∈[0，π]，可得當x=

π

2

時，

2

cosx=0成立，但此時，tan（

x

2

+

π

4

）不存在，

b

無意義，由此得出結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos

x

2

•

2

sin（

x

2

+

π

4

）+tan（

x

2

+

π

4

）tan（

x

2

-

π

4

）
=2cos

x

2

 （sin

x

2

+cos

x

2

）-1=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
當x∈（

π

2

，

2π

3

）時，x+

π

4

∈（

3π

4

，

11π

12

），sin（x+

π

4

）∈（

6 - 2

4

，

2

2

）．
故函數(shù)的值域為 （

3 -1

2

，1）．
（2）∵由上可得 f′（x）=

2

cos（x+

π

4

），由f（x）+f′（x）=0，
可得 

2

sin（x+

π

4

）+

2

cos（x+

π

4

）=0． 即

2

cosx=0．
再由實數(shù)x∈[0，π]，可得當x=

π

2

時，

2

cosx=0成立，但此時，tan（

x

2

+

π

4

）不存在，

b

無意義，
故不存在實數(shù)x∈[0，π]，使 f（x）+f′（x）=0 成立．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦、余弦公式的應用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．