Question

已知函數(shù)f（x）=2x-a（a∈N^*、x∈R），數(shù)列a_n滿足a₁=-a，a_n+1-a_n=f（n）．
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；
（2）當(dāng)a₅與a₆這兩項中至少有一項為a_n中的最小項時，求a的值；
（3）若數(shù)列b_n滿足對?n∈N^*，都有b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n+1成立，求數(shù)列{b_n}中的最大項．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a，由此能求出它的通項公式．
（2）a_n=n²-（1+a）n是關(guān)于n的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為1（＞0），所以“a₅與a₆這兩項中至少有一項為a_n中的最小項”當(dāng)且僅當(dāng)，9≤a≤11，由此能求出a的值．
（3）由b₁+2b₂+2²b₃++2^n-1b_n=a_n+1得2^n-1b_n=a_n+1-a_n=f（n）=2n-a，從而b_n=2^1-n（2n-a），由此分別討論，能求出數(shù)列{b_n}中的最大項．
解答：解：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a=n（n-1-a）．
（2）a_n=n²-（1+a）n是關(guān)于n的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為1（＞0），
所以“a₅與a₆這兩項中至少有一項為a_n中的最小項”當(dāng)且僅當(dāng)，9≤a≤11，a=9、10、11．

（3）由b₁+2b₂+2²b₃++2^n-1b_n=a_n+1得2^n-1b_n=a_n+1-a_n=f（n）=2n-a，從而b_n=2^1-n（2n-a），解
即得
若a=2k（k∈N^*）是偶數(shù)，則最小項為b_k+1=b_k+2=2^1-k；
若a=2k-1（k∈N^*）是奇數(shù)，則最小項為b_k+1=3×2^-k．
點評：（1）是用疊加與等差數(shù)列性質(zhì)求通項；（2）是函數(shù)角度看數(shù)列，并用二次函數(shù)性質(zhì)求解數(shù)列問題；（3）是從“和式”中分離數(shù)列，用比較法討論數(shù)列的最大項．