已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（x，y）到點(diǎn)F1（-1，0）與點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點(diǎn)A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，
3
2
)為軌跡M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問：k1+k2是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（1）由題知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，則|AF1|+|AF2|＞|F1F2|
由橢圓的定義知點(diǎn)A軌跡M是橢圓，其中a=2，c=1．
因?yàn)閎2=a2-c2=3，
所以，軌跡M的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=
1
2
x+b，C（x1，y1），D（x2，y2）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程，消去y可得：3x2+4(
1
2
x+b)2=12，
化簡(jiǎn)得：x2+bx+b2-3=0
當(dāng)△＞0時(shí)，即，b2-4（b2-3）＞0，也即|b|＜2時(shí)，直線l'與橢圓有兩交點(diǎn)，
由韋達(dá)定理得：
x1+x2=-b
x1•x2=b2-3
，
所以，k1=
y1-
3
2
x1-1
=
1
2
x1+b-
3
2
x1-1
，k2=
y2-
3
2
x2-1
=
1
2
x2+b-
3
2
x2-1

則k1+k2=
1
2
x1+b-
3
2
x1-1
+
1
2
x2+b-
3
2
x2-1
=
x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b
(x1-1)(x2-1)
=
b2-3+(b-2)(-b)+3-2b
(x1-1)(x2-1)
=0，
所以，k1+k2為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m0），求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定點(diǎn)N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)．設(shè)直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點(diǎn)，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B是過焦點(diǎn)F1的一條動(dòng)弦，則△ABF2的面積的最大值為（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
AF1
•
F1B
=1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓C上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓上；異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)，且PB⊥QB，求證直線PQ經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-1），且右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）試問是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范圍，若不存在，說明理由．

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