Question

2．已知曲線C₁：y=ax²上點(diǎn)P處的切線L₁，曲線C₂：y=bx³上點(diǎn)A（1，b）處的切線為L₂，且L₂⊥L₁，垂足M（2，2），求a、b的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)P（m，am²），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程即可得到所求．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)P（m，am²），
y=ax²的導(dǎo)數(shù)為y′=2ax，
y=bx³的導(dǎo)數(shù)為y′=3bx²，
切線的斜率為3b=$\frac{2-b}{2-1}$，解得b=$\frac{1}{2}$，
由兩直線垂直的條件可得
切線L₁的斜率為-$\frac{2}{3}$，
由$\frac{2-a{m}^{2}}{2-m}$=-$\frac{2}{3}$=2am，
解方程可得a=-$\frac{1}{30}$，m=10．
即有a=-$\frac{1}{30}$，b=$\frac{1}{2}$，切點(diǎn)P（10，-$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．