Question

[理]如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中點，H為平面EDB內一點，
（1）證明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長為a，求三棱錐A-EDB的體積．
[文]若數列{a_n}的通項公式，記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推測f（n）的表達式；
（3）證明（2）中你的結論．

Answer 1

[理]解：（1）設正方體的棱長為a，
則，，
∵，
∴，又DE∩DB=D，
∴HC₁⊥平面EDB．
（2），
設與所成的角為θ，

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB，
∴∠C₁BH為BC₁與平面EDB所成的角．
∠C₁BH=90°-45°=45°．
（3）
[文]解：（1）a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，f（2）=（1-a₁）（1-a₂）=，
f（3）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）=，f（4）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）（1-a₄）=，
（2）故猜想f（n）=
（3）證明：


…


將上述n個因式相乘得：
即f（n）=
分析：[理]（1）由向量的數量積可得，可得HC₁⊥DE，HC₁⊥DB，即由線線垂直得到線面垂直．
（2）由題意得面EDB的垂線是BC₁，即平面的法向量，進而求與所成的角θ即可．
（3）由于三棱錐A-EDB的體積不易求出，把三棱錐換一個頂點求三棱錐E-ABD的體積，高是AA₁，底面為S_△ABD
[文]（1）將1，2，3分別代入數列{a_n}的通項公式計算f（1），f（2），f（3）的值即可．
（2）f（2）=，f（3）=，f（4）=，可以發(fā)現(xiàn)n與函數f（n）的關系f（n）的表示式．
（3）防寫出所求的式子的類似的式子，把所寫出的式子相乘，化簡整理得到所寫出的結果，結論正確．
點評：本題是兩個題目，一個適合文科做，一個適合理科做，第一個題目解題的關鍵是建立坐標系，在坐標系里解決立體幾何題目，第二個題目是猜測證明的一個過程，注意根據所給的幾項的值寫出數列的通項，并且加以證明．