Question

已知f（x）是定義在{x|x＞0}上的增函數(shù)，且f(

x

y

)=f(x)-f(y)．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f(38x-108)+f(

1

x

)＜2．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合所給的抽象表達(dá)式，只需令x=y≠0即可獲得問(wèn)題的解答；
（2）結(jié)合抽象表達(dá)式用xy代替x，y不變，即可獲得 f(xy)-f(y)=f(

xy

y

)=f(x)轉(zhuǎn)化即可獲得問(wèn)題的解答；
（3）首先利用數(shù)值的搭配計(jì)算f（36）=2，進(jìn)而對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合變形后的抽象函數(shù)即可獲得自變量x的要求，進(jìn)而問(wèn)題即可獲得解答．

解答：解：（1）令x=y=1，則有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵對(duì)一切x，y＞0滿足 f(

x

y

)=f(x)-f(y)即 f(

x

y

)+f(y)=f(x)，
∴對(duì)一切x，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），
又∵f（6）=1∴2=f（6）+f（6）=f（36）；
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴f(38x-108)+f(

1

x

)＜2?

38x-108＞0 x＞0 f[(38x-108)•x]≤f(36)

?

x＞0 (38x-108)•x≤36

?

x＞0 (x+9)•(x-4)≤0

?0＜x≤4
故不等式f(38x-108)+f(

1

x

)＜2 的解集為：（0，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用的綜合類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了定義域優(yōu)先的原則、特值的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及計(jì)算和解不等式組的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．