Question

如圖，在體積為

2

3

π的圓錐PO中，已知⊙O的直徑AB=2，C是

AB

的中點(diǎn)，D是弦AC的中點(diǎn)．
（1）指出二面角D-PO-A的平面角，并求出它的大��；
（2）求異面直線PD與BC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得二面角D-PO-A的平面角為∠AOD，解三角形可得；
（2）可得∠PDO為異面直線PD，BC所成的角，在Rt△PDO中，易得答案．

解答：解：（1）∵圓錐PO中PO⊥平面AOD，
∴AO⊥PO，DO⊥PO
∴二面角D-PO-A的平面角為∠AOD，
由已知易得△OD為等腰直角三角形，
∴∠AOD=∠A=45°；
（2）在△ABC中OD∥BC，
故∠PDO為異面直線PD，BC所成的角，
∵AB=2，∴BC=

2

，∴DO=

2

2

，
由體積公式可得

1

3

π×1²×PO=

2

3

π，解得PO=

2

，
∴在Rt△PDO中，tan∠PDO=

PO

DO

=2．
∴所求的正切值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，涉及二面角的求解，屬中檔題．