Question

已知函數(shù)f(x)=

lg|x|+mx

x

(x≠0)．
（1）實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，f（x）為奇函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=-f（1）可得m=0，再利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）設(shè)g(x)=

lg|x|

x

，則當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=

lgx

x

，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值，再利用函數(shù)f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（-1）=-f（1）可得m=0．     （2分）
所以當(dāng)m=0時(shí)，因?yàn)?span id="8ay6th3" class="MathJye">f(x)=

lg|x|

x

，f（-x）=-f（x）．即f（x）為奇函數(shù)． （4分）
（2）設(shè)g(x)=

lg|x|

x

，則當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=

lgx

x

，可得g′(x)=

lge-lgx

x2

（5分）
令g′（x）=0，可得x=e．                                   （6分）
令g′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e．
所以函數(shù)g（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減．         （8分）
由于g（x）為奇函數(shù)，所以g（x）函數(shù)在（-e，0）上遞增，在（-∞，-e）上遞減．
且x＞e時(shí)，g（x）＞0，x＜-e時(shí)，g（x）＜0（9分）
所以有：f極小值(x)=g(-e)+m=-

lge

e

+m，f極大值(x)=

lge

e

+m（10分）
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f（x）＜g（e）+m，當(dāng)x＞e時(shí)，m＜f（x）＜g（e）+m
所以當(dāng)-e＜x＜0時(shí)，f（x）＞g（-e）+m
當(dāng)x＜-e時(shí)，g（-e）+m＜f（x）＜m（11分）
若f（x）圖象與X軸恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則0＜m＜

lge

e

或-

lge

e

＜m＜0（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，需要一定的基本功．