Question

若圓C過點(diǎn)M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點(diǎn)，點(diǎn)．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點(diǎn)的圓N與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q恰好在直線l上，求證：t與均為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)C到定點(diǎn)M的距離等于到定直線l的距離與拋物線的定義可得點(diǎn)C的軌跡為拋物線所以曲線E的方程為x²=4y．
（2）由題得直線AB的方程是x-2y+12=0聯(lián)立拋物線的方程解得A（6，9）和B（-4，4），進(jìn)而直線NA的方程為，由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得到線段AB中垂線方程為，可求N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓N的方程．
（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意得過點(diǎn)A的切線方程為又Q（a，-1），可得x₁²-2ax₁-4=0同理得x₂²-2ax₂-4=0所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．所以直線AB的方程為
所以t=-1．根據(jù)向量的運(yùn)算得=0．
解答：【解】（Ⅰ）依題意，點(diǎn)C到定點(diǎn)M的距離等于到定直線l的距離，所以點(diǎn)C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為x²=4y．
（Ⅱ）直線AB的方程是，即x-2y+12=0．
由及知，得A（6，9）和B（-4，4）
由x²=4y得，．
所以拋物線x²=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y'|_x=6=3．
直線NA的方程為，即．①
線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段AB中垂線方程為，即．②
由①、②解得．
于是，圓C的方程為，
即．
（Ⅲ）設(shè)，，Q（a，-1）．過點(diǎn)A的切線方程為，
即x₁²-2ax₁-4=0．同理可得x₂²-2ax₂-4=0，所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．
又=，所以直線AB的方程為，
即，亦即，所以t=-1．
而，，
所以
=
=．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識(shí)點(diǎn)．