Question

已知向量

a

=(x，

3

y)，

b

=(1，0)，且(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（Ⅰ）求點(diǎn)Q（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A（0，-1），當(dāng)|AM|=|AN|時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)，整理可求Q點(diǎn)的軌跡方程．
（II）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，結(jié)合直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，可得△＞0，從而可得m與k得關(guān)系，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，從而有K_AP•K_mn=-1，代入可求．

解答：解：（I）由題意得：

a + 3 b =(x+ 3 ， 3 y)， a - 3 b =(x- 3 ， 3 y)

，∵(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)，．∴Q點(diǎn)的軌跡C的方程為

x2

3

+y2=1.…（4分）
（II）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1①…（6分）
（1）當(dāng)k≠0時，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P（x_p，y_p），x_M、x_N分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

從而yp=kxp+m=

m

3k2+1

kAP=

yp+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

…（8分）
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，則-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

即2m=3k2+1②，將②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k2=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，故所求的m取值范圍是(

1

2

，2)．…（10分）
（2）當(dāng)k=0時，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m²＜3k²+1，解得-1＜m＜1．

∴當(dāng)k≠0時，m 的取值范圍是( 1 2 ，2)， 當(dāng)k=0時，m 的取值范圍是(-1，1)．

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程的求法，橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直與斜率關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化得應(yīng)用．