Question

（2014•廣東模擬）在極坐標系中，圓C₁的方程為ρ=4

2

cos（θ-

π

4

），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面坐標系，圓C₂的參數方程

x=-1+αcosθ y=-1+αsinθ

（θ為參數），若圓C₁與C₂相切，則實數a=

±

2

或±5

2

．

Answer 1

分析：先根據ρ²=x²+y²，x=ρcos θ，y=ρsin θ，將圓C₁的方程化成直角坐標方程，再利用同角三角函數關系消去θ，可得圓C₂的直角坐標方程，最后根據圓C₁與圓C₂相切，分為外切的內切兩種情況討論，利用圓心距與半徑之間的關系建立方程，求實數a的值．

解答：解：∵圓C₁的方程為ρ=4

2

cos（θ-

π

4

），
∴⊙C₁的方程化為ρ=4cos θ+4sin θ，則ρ²=4ρcos θ+4ρsin θ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x²+y²-4x-4y=0，
∴圓心C₁坐標為（2，2），半徑r₁=2

2

，
∵圓C₂的參數方程是

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

，
∴其普通方程是（x+1）²+（y+1）²=a²，
∴以C₂的坐標是（-1，-1），r²=|a|，
∵兩圓相切，
∴當外切時|C₁C₂|=|a|+2

2

=

(2+1)2+(2+1)2

=3

2

，解得a=±

2

，
內切時|C₁C₂|=|a|-2

2

=

(2+1)2+(2+1)2

=3

2

，解得a=±5

2

∴a=±

2

或±5

2

．
故答案為：±

2

或±5

2

．

點評：本題考查參數方程化成普通方程、簡單曲線的極坐標方程、圓與圓的位置關系及其應用．解題時要認真審題，把極坐標方程合理地轉化為普通方程．