Question

18．如圖，已知拋物線x²=2py（p＞0），過點(diǎn)A（0，-1）作直線l與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），連接BP、BQ，設(shè)QB、BP與x軸分別相交于M、N兩點(diǎn)，如果QB斜率與PB的斜率之積為-3，則∠MBN的余弦值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx+2p=0，由此利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出k_BP+k_BQ=0，再由k_BP•k_BQ=-3，得k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，由此能求出cos∠MBN．

解答 解：設(shè)直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx+2p=0，
∵過點(diǎn)A（0，-1）作直線l與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，
∴△=4p²-8p＞0，x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，
${k}_{BP}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，${k}_{BQ}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
k_BP+k_BQ=$\frac{k{x}_{1}-2}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-2}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2k•2p-2•2pk}{2p}$=0，
即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
聯(lián)立①②解得k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，
∴∠BNM=$\frac{π}{3}$，∠BMN=$\frac{π}{3}$，∴∠MBN=$\frac{π}{3}$，∴cos∠MBN=cos$\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的余弦值的求法，考查拋物線、韋達(dá)定理、直線斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．