Question

（2013•朝陽區(qū)二模）數(shù)列{2ⁿ-1}的前n項(xiàng)1，3，7，…，2ⁿ-1組成集合An={1，3，7，…，2n-1}(n∈N*)，從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T_k（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如當(dāng)n=1時(shí)，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；當(dāng)n=2時(shí)，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．則當(dāng)n=3時(shí)，S₃=

63

；試寫出S_n=

2

n(n+1)

2

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)S_n=T₁+T₂+…+T_n的意義即可求得n=3時(shí)S₃．根據(jù)S₁，S₂，S₃，猜想Sn=2

n(n+1)

2

-1，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：當(dāng)n=3時(shí)，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63；
由S₁=1=2¹-1=2

1×2

2

-1，S₂=7=2³-1=2

2×3

2

-1，S₃=63=2⁶-1=2

3×4

2

-1，猜想Sn=2

n(n+1)

2

-1，下面證明：
（1）易知n=1時(shí)成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)Sk=2

k(k+1)

2

-1，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）Tk′]（其中T_i′，i=1，2，…，k，為n=k時(shí)可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為T_k），
=（T1′+T2′+T3′+…Tk′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（T1′+T2′+T3′+…Tk′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k
=2^k+1（2

k(k+1)

2

-1）+（2^k+1-1）
=2k+1•2

k(k+1)

2

-1=2

(k+1)(k+2)

2

-1，即n=k時(shí)Sk+1=2

(k+1)(k+2)

2

-1也成立，
綜合（1）（2）知對(duì)n∈N^*Sn=2

n(n+1)

2

-1成立．
所以Sn=2

n(n+1)

2

-1．
故答案為：63；Sn=2

n(n+1)

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的綜合，考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，具有一定綜合性，難度較大，能力要求較高．