Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+sinθ)=2

5

，曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），則曲線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離為

 

．

Answer 1

分析：由題意將曲線C和直線l先化為一般方程坐標(biāo)，然后再計(jì)算曲線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離．

解答：解：∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+sinθ)=2

5

，
∵x=pcosθ，y=psinθ，
∴x+y=2

5

，
∵曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），
∴

x2

4

+y²=1，
可以設(shè)直線y=-x+k與橢圓

x2

4

+y²=1相切，
∴5x²-8kx+4k²-4=0，
△=0，∴64k²-20（4k²-4）=0，
∴k=±

5

∴直線y=-x±

5

與直線x+y=2

5

，的距離即是最短距離，
∴d=

|2 5 |

2

±

5

2

，
∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離為

10

2

．
故答案為

10

2

．

點(diǎn)評：此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．