Question

在如圖所示的幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．

（1）若AE=2，求證：AC∥平面BDE；

（2）若二面角A—DE—B為60°．求AE的長(zhǎng)。

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意由于可以得到∥，又平面，平面，從而得到證明。

（2）

【解析】

試題分析：（1）分別取 的中點(diǎn),連接,則∥,∥,且，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081012171303893046/SYS201308101217431903683918_DA.files/image015.png">，,為的中點(diǎn)，

所以,，

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081012171303893046/SYS201308101217431903683918_DA.files/image021.png">⊥平面，

所以平面．     3分

又平面,

所以∥，  5分

所以∥，且,因此四邊形為平行四邊形，

所以∥，所以∥，又平面，平面，

所以∥平面. 7分

（或者建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計(jì)算即證）

（2）解法一:

過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線于,連接.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081012171303893046/SYS201308101217431903683918_DA.files/image035.png">,,

所以平面,平面

則有.

所以平面,平面,

所以.

所以為二面角的平面角，

即.    10分

在中，，則 ,.

在中，.

設(shè)，則,所以，又

在中,,即=，

解得，所以．       14分

解法二:

由（1）知平面，,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則,,

,，

,.

設(shè)平面的法向量

則所以 

令, 所以 ，11分

又平面的法向量，

所以，

解得， 即．        14分

考點(diǎn)：線面平行以及線段的長(zhǎng)度

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間中線面平行的運(yùn)用，以及二面角的平面角的求解，屬于基礎(chǔ)題。