Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，x∈（0，+∞），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），現(xiàn)有如下命題：
①對(duì)x1∈（0，+∞），x2∈（0，+∞），使得x2f（x1）＞x1f（x2）；
②對(duì)x1∈（0，+∞），對(duì)x2∈（0，+∞）且x1≠x2 ， 使得f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1；
③當(dāng)a＞3時(shí)，對(duì)x∈（0，+∞），不等式f（a+x）＜f（a）ex恒成立；
④當(dāng)a＞3時(shí)，對(duì)x∈（3，+∞），且x≠a時(shí)，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立；其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），∵f′（x）=lnx+1，令lnx+1＜0得0＜x＜ ，
∴函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（ 0， ），單調(diào)增區(qū)間為（ ，+∞）．
其大致圖象如下：

對(duì)于①，x2f（x1）＞x1f（x2）可變?yōu)? ；
原命題等價(jià)于，在函數(shù)f（x）圖象上任一點(diǎn)A（x1 ， f（xx1）），都存在點(diǎn)B（x2 ， f（x2）），使得直線(xiàn)OA的斜率大于OB的斜率，結(jié)合圖象可判定①正確．
對(duì)于②，f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1可變?yōu)閒（x1）+x1）＜f（x2）+x2 ， 原命題等價(jià)于，函數(shù)g（x）=f（x）+x，對(duì)x2∈（0，+∞），都存在x1∈（0，+∞）使g（x2）＞g（x1）；
∵g′（x）=f′（x）+1=lnx+2，顯然函數(shù)g（x）有最小值，故不存在，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，f（a+x）＜f（a）ex（a+x）ln（a+x）＜alna）ex ，構(gòu)造函數(shù)g（x）= ，則問(wèn)題就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．
g′（x）= ，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，則h′（x）= ﹣lnx﹣1，顯然h′（x）是減函數(shù)．
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜h′（1）=0，從而函數(shù)h（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)．
從而當(dāng)x＞3時(shí)，h（x）＜h（e）=lne+1﹣elne=2﹣e＜0，即 g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）= 在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)．
當(dāng)a＞3時(shí)，對(duì)于任意的非零正數(shù)x，a+x＞a＞3，進(jìn)而有g(shù)（a+x）＜g（a）恒成立，故③正確；
對(duì)于④，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）f（a）﹣f′（a）（x﹣a）=xlnx﹣xlna﹣x+a，（x＞3）
h′（x）=lnx﹣lna，可知h（x）在（3，a）遞減，在（a，+∞）遞減，h（x）≥h（a）=0，∴x≠a時(shí)，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立，故④正確；
故選：C．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系即可以解答此題．