如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．
（Ⅰ）設點M的坐標為M（x，y）（x≠0），則 C（x，y-1+
2
2
3
），D（x，y+1-
2
2
3
）
又A（0，
2
2
3
），B（0，-
2
2
3
），由AC⊥BD有
AC
•
BD
=0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x2+y2=1（x≠0）．（4分）
（Ⅱ）設P（x，y），則M（（1+λ0）x，y），代入M的軌跡方程（1+λ0）2 x2+y2=1（x≠0）
即
x2
(
1
1+λ0
)2
+y2=1（x≠0），
∴P的軌跡為橢圓（除去長軸的兩個端點）．
要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故1+
1
(1+λ0)2
=(
2
2
3
)2．
∴λ0=2，
∴所求P的軌跡方程為9x2+y2=1（x≠0）．…（9分）
（Ⅲ）易知l的斜率存在，設方程為y=kx+
1
2
，代入橢圓方程可得（9+k2）x2+kx-
3
4
=0
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-
k
9+k2
，x1x2=-
3
4(9+k2)

∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4k2+27
(9+k2)2
．
令t=k2+9，則|x1-x2|=
4t-9
t2
且t≥9．
∴S△OPQ=
1
2
•
1
2
|x1-x2|=
1
4
-9(
1
t
-
2
9
)2+
4
9
，
∵t≥9，
∴0
1
t
≤
1
9
，
∴當
1
t
=
1
9
，即t=9也即k=0時，△OPQ面積取最大值，最大值為
3
12
．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又設l與l2交于點P，l與C兩交點自上而下依次為A、B；
（1）當l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=8x，O為坐標原點，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設m=2，過點D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點，O為坐標原點，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=12x，點M（-1，0），過M的直線l交拋物線C于A，B兩點．
（Ⅰ）若線段AB中點的橫坐標等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設點A關于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過如下五個點中的三個點：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點A為橢圓M的左頂點，B，C為橢圓M上不同于點A的兩點，若原點在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點A、B和C、D；拋物線上的點T（2，t）（t＞0）到焦點的距離為3．
（1）求p、t的值；
（2）當四邊形ACBD的面積取得最小值時，求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知△ABC的頂點A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m0），求頂點C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定點N（1，0），動點P在圓M上運動，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點Q，求點Q軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點且
AF1
•
F1B
=1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點M，N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

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同步練習冊答案