Question

14．已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為點(diǎn)O，且$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=0$，則$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$的值為（　�。�

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $-\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 先將一個(gè)向量用其余兩個(gè)向量表示出來(lái)，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，則才好用上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，容易化簡(jiǎn)出要求的結(jié)果．

解答 解：因?yàn)?$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
所以3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，
所以9$\overrightarrow{OA}$²+24$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+16$\overrightarrow{OB}$²=25$\overrightarrow{OC}$²，
因?yàn)锳，B，C在圓上，所以|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1．
代入原式得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
所以$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）
=-$\frac{1}{5}$（-3$\overrightarrow{OA}$²+4$\overrightarrow{OB}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{5}$×（-3+4-0）
=-$\frac{1}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用．要利用向量的運(yùn)算結(jié)合基底意識(shí)，將結(jié)論進(jìn)行化歸，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底間的數(shù)量積及其它運(yùn)算問(wèn)題．