Question

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)的有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)；
（3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

Answer 1

（1）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)    
（3）證明見解析。

（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133305957422.gif" style="vertical-align:middle;" />，
     …… 1分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．   …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)．
………3分
②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，
時(shí)，，
此時(shí)，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，   …… 5分
ii)  當(dāng)時(shí)，0＜＜1 此時(shí)，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)       …… 8分
（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
此時(shí)有唯一極小值點(diǎn)
且          …… 9分
                 
…… 11分
令函數(shù) …… 12分
    …… 14分