已知直線l：x=-2，l與x軸交于點A，動點M（x，y）到直線l的距離比到點F（1，0）的距離大1．
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點A作直線交曲線E于B，C兩點，若
AB
=2
BC
，求此直線的方程．
分析：（Ⅰ）依題意，動點M（x，y）到直線x=-1和點N（1，0）的距離相等，可得等式，進而整理方程可得點M的軌跡E的方程為y2=4x．
（Ⅱ）設(shè)B（x1，y1）C（x2，y2），表示出向量的等式
AB
=2
BC
得，y1=2（y2-y1），即
y2
y1
=
3
2
，所以
x2
x1
=
9
4
，聯(lián)立直線與橢圓的方程并且結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得y=x1+x2=
4-4k2
k2
，x1x2=4，即可得到k2=
12
25
，進而求出直線方程．
解答：解：（Ⅰ）依題意，動點M（x，y）到直線x=-1和點N（1，0）的距離相等，
所以
(x-1)2+y2
=|x+1|，
即y2=4x．
所以點M的軌跡E的方程y2=4x．
（Ⅱ）設(shè)B（x1，y1）C（x2，y2），則y12=4x1，y22=4x2，
所以
AB
=(x1+2，y1)，
BC
=(x2-x1，y2-y1)．
由
AB
=2
BC
得，y1=2（y2-y1），即
y2
y1
=
3
2
，所以
x2
x1
=
9
4
…①
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），（k≠0），
y=k(x+2)
y2=4x
消去y，得k2x2+4（k2-1）x+4k2=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=
4-4k2
k2
…②
x1x2=4…③
由①、③得，x1=
4
3
，x2=3，代入②，得k2=
12
25
，
所以k=±
2
3
5
．
所以所求直線方程為y=±
2
3
5
（x+2）．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及掌握根與系數(shù)的關(guān)系并且熟練的利用向量的有關(guān)知識解決問題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：
x=2+t
y=1-at
（t為參數(shù)），與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點．
（1）若A，B的中點為P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一個三等分點，求直線l的直角坐標方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓D：x2+
y2
b2
=1(0＜b＜1)的左焦點為F，其左右頂點為A、C，橢圓與y軸正半軸的交點為B，△FBC的外接圓的圓心P（m，n）在直線x+y=0上．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x=-
2
，N是橢圓D上的動點，NM⊥l，垂足為M，是否存在點N，使得△FMN為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：
x=2+t
y=-2-t
（t為參數(shù)）與圓C：
x=2cosθ+1
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標分別是（　　）
A、
π
4
，(1，0)
B、
π
4
，(-1，0)
C、
3π
4
，(1，0)
D、
3π
4
，(-1，0)

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆云南大理賓川四中高二1月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知直線l:  y=x-2 與拋物線y2=2x相交于兩點A、B，

（1）求證：OA⊥OB

（2）求線段AB的長度

 

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