給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求
OA
與
OB
夾角的大��；
（Ⅱ）設(shè)
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．
（I）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1．
將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=6，x1x2=1，
OA
•
OB
=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=2x1x2-（x1+x2）+1=-3.|
OA
|•|
OB
|=
x21
+
y21
•
x22
+
y22
=
x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]
=
41

cos＜
OA
，
OB
＞=
OA
•
OB
|
OA
|•|
OB
|
=-
3
41
41
.
所以
OA
與
OB
夾角的大小為π-arccos
3
41
41
．
（II）由題設(shè)知
FB
=λ
AF
得：（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），即
x2-1=λ(1-x1)(1)
y2=-λy1(2)

由（2）得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1（3）
聯(lián)立（1）（3）解得x2=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2
λ
）或B（λ，-2
λ
），又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2
λ
（x-1）或（λ-1）y=-2
λ
（x-1）
當(dāng)λ∈[4，9]時(shí)，l在y軸上的截距為
2
λ
λ-1
或-
2
λ
λ-1

由
2
λ
λ-1
=
2
λ
+1
+
2
λ-1
，可知
2
λ
λ-1
在[4，9]上是遞減的，
∴
3
4
≤
2
λ
λ-1
≤
4
3
，-
4
3
≤-
2
λ
λ-1
≤-
3
4

直線l在y軸上截距的變化范圍是[-
4
3
，-
3
4
]∪[
3
4
，
4
3
]．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求
OA
•
OB
的值；
（2）設(shè)
AF
=λ
FB
，當(dāng)三角形OAB的面積S∈[2，
5
]時(shí)，求λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求
OA
與
OB
夾角的大�。�
（Ⅱ）設(shè)
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)l的斜率為1，則
.
OA
與
.
OB
夾角為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，過F的直線l：y=k（x-1），它與C相交于A、B兩點(diǎn)．如果
FB
=λ
AF
且λ∈[
1
16
，
1
4
]．那么k的變化范圍是（　�。�
A、[
8
15
，
4
3
]
B、[-
4
3
，-
8
15
]
C、[
8
15
，
4
3
]∪[-
4
3
，-
8
15
]
D、（-∞，-
4
3
]∪[
8
15
，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定拋物線c：y2=4x，F(xiàn)是c的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與c相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）設(shè)l的斜率為1，求
OA
與
OB
夾角的余弦值；
（2）設(shè)
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y軸上的截距的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案