Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n+1=4a_n-2，且a₁=2．
（Ⅰ） 求證：對(duì)任意n∈N^*，a_n+1-2a_n為常數(shù)C，并求出這個(gè)常數(shù)C；
（Ⅱ）如果，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n+1=4a_n-2，且S_n=4a_n-1-2，相減得：a_n+1=4（a_n-a_n-1），（3分）
a_n+1-2a_n=2（a_n-a_n-1），∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）•2^n-1．
又a₂+a₁=4a₁-2，∵a₁=2，∴a₂=4．∴a_n+1-2a_n=0．
∴C=0．…（6分）
（Ⅱ）∵，
∴=．
，
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∴=…（12分）
分析：（Ⅰ） 利用S_n+1=4a_n-2，與S_n=4a_n-1-2，推出a_n+1-2a_n=（a₂-a₁）•2^n-1．
通過(guò)a₂+a₁=4a₁-2，a₁=2，推出a₂=4．得到C=0．
（Ⅱ）利用，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列前n項(xiàng)的和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．