Question

20．已知向量$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos^2}\frac{x}{4}$），記f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，討論函數(shù)y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的恒等變形得到f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）先求得y=g（x）-k的解析式，從而可求g（x）的值域，由函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=k在$[0，\frac{7π}{3}]$的上有交點，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos^2}\frac{x}{4}$），記f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
∴f（x）=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{4}$+${cos^2}\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
則4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2））∵將函數(shù)y=f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位得到函數(shù)解析式為
：y=g（x）=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）]+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴則y=g（x）-k=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-k，
∵x∈[0，$\frac{7π}{3}$]，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
∴若函數(shù)y=g（x）-k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有零點，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有交點，
∴實數(shù)k的取值范圍是[0，$\frac{3}{2}$]．
∴當k＜0或k＞$\frac{3}{2}$時，函數(shù)y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零點個數(shù)是0；
當0≤k＜1時，函數(shù)y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零點個數(shù)是2；
當k=0或k=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零點個數(shù)是1．

點評 本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的應用，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的單調增區(qū)間的求法，函數(shù)零點的判斷方法，考查計算能力．