Question

21.從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.

Ⅰ.設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為a_n萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為b_n萬(wàn)元.寫(xiě)出a_n,b_n的表達(dá)式；

Ⅱ.至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？

Answer 1

21.本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

　

解：Ⅰ.第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800×(1－)萬(wàn)元，……，第n年投入為

800×(1－)^n－1萬(wàn)元.

所以，n年內(nèi)的總投入為

a_n=800+800×(1－)＋…＋800×(1－)^n－1

=800×(1－)^k－1

=4000×[1－()ⁿ]；

第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1＋)萬(wàn)元，……，第n年旅游業(yè)收入為

400×(1＋)^n－1萬(wàn)元.

所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

b_n=400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)^n－1

   =400×()^k－1

   =1600×[()ⁿ－1].

 

Ⅱ.設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此b_n－a_n＞0，

即　1600×[()ⁿ－1]－4000×[1－()ⁿ]＞0.

化簡(jiǎn)得　5×()ⁿ+2×()ⁿ－7＞0，

設(shè)x=()ⁿ，代入上式得5x²－7x+2＞0，

解此不等式，得x＜，x＞1(舍去).

即　()ⁿ＜，

由此得　n≥5.

答：至少經(jīng)過(guò)5年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.