Question

（2008•黃岡模擬）在正項等差數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，在正項等比數(shù)列{b_n}中，前n項和為T_n，若a₁₅=b₅，a₃₀=b₂₀，則

S30-S15

T20-T5

∈（　　）

• A．（0，1）
• B．（

  1

  2

  ，1）
• C．[1，+∞]
• D．[

  1

  2

  ，2]

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列{a_n}是正項等差數(shù)列得d≥0，再分兩類：當(dāng)d=0時和當(dāng)d＞0時；當(dāng)d=0時，結(jié)合條件得a_n=b_n，再得

S30-S15

T20-T5

=1；當(dāng)d＞0時，結(jié)合條件判斷出公比q＞1，再由等差和等比數(shù)列的前n項和公式，分別求出S₃₀-S₁₅和
T₂₀-T₅，且都用b₅來表示，再進(jìn)行做商化簡得

7+8q15

q+q2+…+q15

，根據(jù)q的范圍進(jìn)行放縮即可．

解答：解：由正項等差數(shù)列{a_n}知，d≥0，
①當(dāng)d=0時，則a₁₅=b₅=a₃₀=b₂₀，即a_n=b_n，
∴

S30-S15

T20-T5

=1，
②當(dāng)d＞0時，則a₁₅＜a₃₀，
∵a₁₅=b₅，a₃₀=b₂₀，∴b₅＜b₂₀，
則正項等比數(shù)列{b_n}的公比q＞1，
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴S₃₀-S₁₅=a₁₆+a₁₇+…+a₃₀
=a₁₅+a₁₆+a₁₇+…+a₃₀-a₁₅=

16×(a15+a30)

2

-a15
=7a₁₅+8a₃₀=7b₅+8b₂₀=（7+8q¹⁵）×b₅，
又∵{bn}是等比數(shù)列，
∴T₂₀-T₅=

b1(1-q20)

1-q

-

b1(1-q5)

1-q

=

b1(q5-q20)

1-q

=

b5(q-q16)

1-q

，
∴

S30-S15

T20-T5

=

(7+8q15)×b5

b5(q-q16) 1-q

=

(7+8q15)

q(1-q15) 1-q

=

7+8q15

q+q2+…+q15

，
∵q＞1，∴

7+8q15

q+q2+…+q15

＞

15q15

15q15

=1
綜上得，

S30-S15

T20-T5

≥1，
故選C．

點評：本題考查了等差和等比數(shù)列的前n項和公式的靈活應(yīng)用，以及放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，難度較大，需要有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力，可作為壓軸題．