Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P．過F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點(diǎn)．有下列四個(gè)命題：
①△PMN必為直角三角形；②△PMN不一定為直角三角形；③直線PM必與拋物線相切；④直線PM不一定與拋物線相切．
其中正確的命題是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的有關(guān)知識(shí)，先由拋物線方程求出M，N的坐標(biāo)，然后判斷△PMN是否為為直角三角形，求出直線PM的方程，然后判斷是否相切．

解答： 解：拋物線方程為y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

p

2

，0），可求出點(diǎn)M（

p

2

，p），N（

p

2

，-p），
所以|PF|=

1

2

，|MN|=p，所以∠MPN=90°，所以①正確，
又直線PM方程與拋物線方程聯(lián)立：

y=x+ p 2 y2=2px

，得x²-px+

p2

4

=0，其判別式△=0
所以直線PM必與拋物線相切．所以③正確．
綜上①③正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：拋物線y²=2px（p＞0）為標(biāo)準(zhǔn)方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出M，N坐標(biāo)．