Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，，∠BAD=120°，E在棱SD上，且SE=3ED．
（I）求證：SD⊥平面AEC；
（II）求直線AD與平面SCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易知CA⊥AD，通過所給條件證明SD⊥AC即有線線垂直得到線面垂直．也可利用空間向量求直線與平面的夾角為90°．
（2）幾何法求直線與平面的夾角重點(diǎn)是找垂線作出線面角，用空間向量求直線與平面的夾角的重點(diǎn)是以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AC、AD、SA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求法向量
解答：解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，由AD=1，CD=2，∠BAD=120°，
易知CA⊥AD，
又SA⊥平面ABCD
SD在平面ABCD上的射影為AD，∴SD⊥AC，
在直角三角形SAB中，易得，
在直角三角形SAD中，∠ADE=60°，SD=2，
又SE=3ED，∴，
可得=．
∴SD⊥AE，
又∵AC∩AE=A，∴SD⊥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥平面AEC，所以平面AEC⊥平面SCD，
過A作AF⊥EC于F，則AF⊥平面SCD．
可得∠ADF為直線AD與平面SCD所成的角．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181654206528718/SYS201310241816542065287018_DA/5.png">，，所以，
所以
在Rt△ADF中，，
直線AD與平面SCD所成角的大小為．
解法二：依題意易知CA⊥AD，SA⊥平面ACD．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AD、SA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則易得，
（Ⅰ）由SE：ED=3有，
易得，從而SD⊥平面ACE
（Ⅱ）設(shè)平面SCD的法向量為n=（x，y，z）
則，令z=1，得
從而
所以AD與平面SCD所成角大小為．
點(diǎn)評(píng)：通過對(duì)空間幾何圖形的探究，使學(xué)生會(huì)恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系；通過空間向量的坐標(biāo)表示法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計(jì)算”的轉(zhuǎn)化過程，從而提高分析問題、解決問題的能力．