Question

下列命題中：
（1）方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
（2）函數f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域為R，則m的取值范圍是m∈（0，4）；
（3）若函數y=

x2+ax+2

在區(qū)間（-∞，1]上是減函數，則實數a∈[-3，-2]；
（4）若函數f（3x+1）是偶函數，則f（x）的圖象關于直線x=

1

3

對稱．
（5）若對于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，則a＞

11

3

；
其中的真命題是

（1），（3），（5）

（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：（1）用根的分布來解，得到f（0）=a＜0；
（2）由函數f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域為R，知mx²+mx+1＞0的定義域為R，由此能求出實數m的取值范圍；
（3）由定義域得a＞-3，由單調性得a＜-2，由此能求出實數a的范圍；
（4）若函數f（3x+1）是偶函數，則f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（5）由題意得x²+2＜ax對于任意x∈（1，3）恒成立，故x+

2

x

＜a對于任意x∈（1，3）恒成立，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）用根的分布來解，
令f（x）=x²+（a-3）x+a，一個比0大，一個比0小，
只要f（0）=a＜0即可．故（1）正確；
（2）∵函數f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域為R，
∴mx²+mx+1＞0的定義域為R，
∴m=0，或

m＞0 △=m2-4m＜0

，
解得0≤m＜4，故（2）不正確；
（3）∵函數y=

x2+ax+2

在區(qū)間（-∞，1]上是減函數，
∴

1+a+2≥0 - a 2 ≥0

，解得-3≤a≤-2，故（3）正確；
（4）∵函數f（3x+1）是偶函數，
∴函數f（3x+1）的圖象關于y軸對稱，
∴f（3x）的圖象關于x=

1

3

對稱，
∴f（x）的圖象關于x=1對稱，故（4）不正確；
（5）∵對于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，
∴x²+2＜ax對于任意x∈（1，3）恒成立，
∴x+

2

x

＜a對于任意x∈（1，3）恒成立，
∵當x∈（1，3）時，x+

2

x

∈[2

2

，

11

3

]，
∴a＞

11

3

，故（5）成立．
故答案為：（1），（3），（5）．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．