對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點.若函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,
(2)已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設bn=-
1
an
,Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2011-1<ln2011<T2010
分析:(1)由函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,知
0+a
0-c
=0
4+a
2b-c
=2
,故a=0,2b-c=2.由f(-2)<-
1
2
,知
1
2
<b<
5
2
,由b,c∈N*,解得f(x)=
x2
2x-2
.定義域為x≠1,由此能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,知2Sn=an-an2,故an=-n.所以(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an
等價于
1
n+1
<ln(1+
1
n
)<
1
n
.由
x
1+x
<ln(1+x)<x
,令x=
1
n
,得證.
(3)由(2)得,bn=
1
n
,則Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,在
1
n+1
<ln(1+
1
n
)<
1
n
中,令n=1,2,3,…,2010,
并將各式相加,得到T2011-1<ln2011<T2010
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,
0+a
0-c
=0
4+a
2b-c
=2
,
∴a=0,2b-c=2.
f(x)=
x2
bx+2-2b
,
∵f(-2)<-
1
2
,
4
2-4b
<-
1
2
,
2
2b-1
2
4
,
∴0<2b-1<4,
1
2
<b<
5
2

∵b,c∈N*
∴b=1,c=0(舍),或b=2,c=2.
f(x)=
x2
2x-2
.定義域為x≠1,
f(x)=
2x(2x-2)-2x2
(2x-2)2
=
2x2-4x
(2x-2)2
,
f(x)=
2x2-4x
(2x-2)2
>0,得x<0,或x>2,
f(x)=
2x2-4x
(2x-2)2
<0,得0<x<2,
∵x≠1,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間是(0,1),(1,2).
(2)∵各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,
4Sn
1
an2
2
an
-2
=4Sn
1
2an-2an2
=1,
4Sn=2an-2an2
∴2Sn=an-an2,
當n≥2時,2Sn-1=an-1-an-12,
兩式相減,得an=-an-1,或an-an-1=-1,
當n=1時,a1=-1,
由an=-an-1,知a2=1,不在定義域范圍內(nèi),應舍去.
故an-an-1=-1,
∴an=-n.
(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an
等價于(1+
1
n
-(n+1)
1
e
(1+
1
n
-n
(1+
1
n
)n<e<(1+
1
n
)n+1
,
兩邊取對數(shù)后,nln(1+
1
n
)<1<(n+1)ln(1+
1
n
)
,
即證
1
n+1
<ln(1+
1
n
)<
1
n

設f(x)=ln(1+x)-x,x>0
則 f′(x)=
1
1+x
-1<0,
所以 f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
于是 f(x)<f(0)=0 即 ln(1+x)<x.
設g(x)=
x
1+x
-ln(1+x),
則 g′(x)=
1
(1+x)2
-
1
1+x
=-
x
(1+x)2
<0,
所以 g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),于是 g(x)<g(0)=0,
x
1+x
<ln(1+x).
x
1+x
<ln(1+x)<x

令x=
1
n
,得
1
n+1
<ln(1+
1
n
)<
1
n

(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)由(2)得,bn=
1
n
,
Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

1
n+1
<ln(1+
1
n
)<
1
n
中,
令n=1,2,3,…,2010,
并將各式相加,得
1
2
+
1
3
+…+
1
2011
ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
2011
2010
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2010
,
∴T2011-1<ln2011<T2010
點評:本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點,易錯點是(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an
等價于
1
n+1
<ln(1+
1
n
)<
1
n
的證明.解題時要認真審題,仔細解答.
練習冊系列答案
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對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個函數(shù):
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
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x+2
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12
<m<1;
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